Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan



tải về 0.5 Mb.
trang1/4
Chuyển đổi dữ liệu16.12.2017
Kích0.5 Mb.
  1   2   3   4

Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan


Trong hoạt động của ḿnh, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi t́m giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một đối tượng h́nh học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích,… Ngay trong tự nhiên, những h́nh có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các h́nh khác không có được như tam giác đều, h́nh vuông, lục giác đều hoặc h́nh tṛn, khối cầu,….

Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong h́nh học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lư thuyết cơ bản của toán học. Ở ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong h́nh học c̣n hiếm, nhất là không hệ thống phương pháp giải và đưa ra một cách nh́n mới trong học tập, rất nhiều cuốn bài tập chỉ mang tính chất liệt kê không làm nổi bật những ư tưởng của đề toán và các phương pháp tiếp cận giải toán

Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp t́m cực tr trong h́nh hc”. Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp t́m cực trị cơ bản thường gặp trong h́nh học phẳng và h́nh học vectơ. Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa. Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau.

Trong quá tŕnh biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đă cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh. V́ vậy, chúng em mong thầy và các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn!
Nhóm biên tập

Tóm tắt kiến thức :


  1. Cực trị h́nh học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên trên miền D. Ta nói :






  1. Phép toán vector:

Phép cộng vector:

* Quy tắc 3 điểm:

* Quy tắc h́nh b́nh hành: nếu ABCD là h́nh b́nh hành th́

Phép trừ vector:

* Quy tắc:

Tích vector với 1 số:

Cho số k ≠ 0 và . Tích vector a với số k là một vector kí hiệu , cùng hướng vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng

Tích vô hướng của hai vector :

Cho khác vector 0 . Ta có :
Một số kí hiệu dùng trong tài liệu

: độ dài các cạnh BC, CA, AB của.

: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của.

: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của.

: bán kính đường tṛn ngoại tiếp, nội tiếp .

: bán kính các đường tṛn bàng tiếp góc A, B, C của.
Một số điểm đặc biệt trong tam giác

Điểm Lemoine:

Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của lấy các điểm tương ứng sao cho (các đường là các đường đối trung). Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm L gọi là điểm Lemoine.

Tính chất: Cho, L là điểm trong tam giác. Gọi H, K, N theo thứ tự là h́nh chiếu của L trên BC, CA, AB. Khi đó L là điểm Lemoine của khi và chỉ khi L là trọng tâm của khi và chỉ khi



Điểm Toricelli: Cho có các góc đều nhỏ hơn . Khi đó tồn tại duy nhất điểm T có tính chất cùng nh́n các cạnh BC, CA, AB dưới các góc . Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của .

Điểm Gergone: Đường tṛn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone.

Điểm Naghen: Các đường tṛn bàng của tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại . Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm N gọi là điểm Naghen.


Phương pháp 1: Vận dng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.

Ví d 1.1: Cho h́nh vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Giải:

HAE= EBF(c-g-c) HE= EF.



Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là h́nh thoi.


HAE= EBF c̣n suy ra

Ta lại có

Do đó: . Như vậy h́nh thoi EFGH là h́nh vuông.

Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là h́nh b́nh hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà hai h́nh vuông ABCD và EFGH.

HOE vuông cân:

Chu vi EFGH= 4.HE= .OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất.

Kẻ . Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE  OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K

Do đó min OE= OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Nhận xét về phương pháp gii: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau:

Chu vi EFGH nhỏ nhất HE nhỏ nhất OE nhỏ nhất.

Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm E để OE có độ dài nhỏ nhất .


Ví d 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.

Gii: Gọi K là giao điểm của CM và DB.

MAC= MBK(g-c-g) MC= MK.

DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra .

Kẻ . Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a.





Do CD AB= 2a và MH= a nên:


Khi đó .

Vậy . Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= a



Ví d 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất.

Gii: Gọi S là diện tích ABC. Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có:


Kẻ ta có : nên BE+ CF =

Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất.



Đường xiên AD nhỏ nhất h́nh chiếu HD nhỏ nhất.

Ta có HD  HB ( do ) và HD = HB khi và chỉ khi DB.

Như vậy khi D trùng B th́ tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn nhất.



Ví d 1.4: Cho h́nh b́nh hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt h́nh b́nh hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là h́nh chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d.

Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.



Gii: Gọi O là giao điểm của AC và BD.

O’ là h́nh chiếu vuông góc của O trên d.



DD’B’B là h́nh thang.
và O là trung điểm BD ( ABCD là h́nh b́nh hành)

Do đó OO’ là đường trung b́nh của h́nh thang DD’B’B





và O là trung điểm AC.( ABCD là h́nh b́nh hành)

Do đó OO’ là đường trung b́nh cùa ACC’



nên OO’ OA. Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi)

Dấu “=” xảy ra O’  Ad vuông góc AC tại A.


Phương pháp 2: Quan hệ giữa đon thẳng và đường gấp khúc
Ví d 2.1: Cho h́nh chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Giải:

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến AI=

M

Tương tự MC= .

IK là đường trung b́nh của EFG IK=.

Tương tự KM=

Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc)

Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi).

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A, I, K , M, C thẳng hàng.

Nhận xét về phương pháp gii: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC.


Ví d 2.2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếpABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy.

Giải:

Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy ư ( M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC). Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF.

Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF  EF



Ta cần xét khi nào th́ EF nhỏ nhất. Ta có

EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.

EF nhỏ nhất AE nḥ nhất AN nhỏ nhất

Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A, c̣n M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC.

Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A th́ M và P cũng là chân hai đường cao c̣n lại của tam giác.



CM:

Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH. Ta có AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc MHP. V́ AH HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H. Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M.



MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù nên MB MC. Tương tự PC PB

Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của tam giác ABC. Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác.

Cách 2: Lấy M, N, P tùy ư trên AB, BC, CA và nối tâm O của đường tṛn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P.

Gọi R là bán kính đường tṛn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác.

Khi đó:





Do OA = OB = OC = R nên

Do đó chu vi

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi OA MP, OB MN, OC NP. Ta sẽ CM rằng khi đó th́ AN, BP, CM là các đường cao của tam giác ABC.

Thật vậy, giả sử OA MP, OB MN, OC NP. Kẻ tiếp tuyến Ax. Ta có ( cùng bằng góc BAx). Chứng minh tương tự . Do đó suy ra . Như vậy MA là phân giác ngoài của tam giác MNP. Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP. Suy ra NA là đường phân giác của góc MNP. Ta lại có nên .

Chứng minh tương tự . Tam giác MNP có chu vi nḥ nhất khi và chỉ khi N, P, M là chân các đường cao của tam giác ABC.


Ví d 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB. Trước tiên An chọn một điểm N trên BC, tiếp đó B́nh chọn một điểm P trên AC. Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, c̣n B́nh muốn tổng d nhỏ nhất. Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất th́ N và P là những điểm nào?
Gii Vẽ các điểm D, E sao cho AC là đường trung trực của MD, BC là đường trung trực của ME.

Độ dài đường gấp khúc DPNE bằng d.



Dễ thấy hoặc PN + NE < PB + BE hoặc PN + NE < PC + CE nên độ dài của đường gấp khúc DPNE không vượt quá độ dài của đường gấp khúc DPBE hoặc độ dài của đường gấp khúc DPCE. Vậy để d lớn nhất th́ An phải chọn N trùng B hoặc C.

Rơ ràng để tổng d nhỏ nhất th́ B́nh phải chọn P là giao điểm của ND và AC.

Trong trường hợp An chọn N trùng B th́ B́nh chọn P là giao điểm của BD và AC, khi đó d = . C̣n trong trường hớp An chọn N trùng C th́ B́nh chọn P là giao điểm của CD và AC, chính là C, khi đó d = .



Bây giờ ta so sánh . Đặt MC = h th́ = 2h (1). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt MP ở B’. Ta có BP = B’P nên :



= MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn nhất, sau đó B́nh chọn P là giao điểm của BD và AC.




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©tieuluan.info 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương