Chuyªn ®Ò 1 CÁc phép toán trong n



tải về 159.86 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu23.12.2018
Kích159.86 Kb.

Trường THCS Vĩnh Sơn GV: Trần Thị Hằng


Chuyªn ®Ò 1
CÁC PHÉP TOÁN TRONG N



  1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.

D a + b = b + a ; a.b = b.a

Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi

Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.

  1. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:

(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);

Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba.

Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.

  1. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:

a(b+ c) = ab + ac

Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.

  1. Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.

  2. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho

a= b.p.

  1. Trong phép chia có dưa;

số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)

số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.




Ví dụ 1 . a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;

b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999. tính tổng các chữ số của số đó.


Giải . a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) …..+ (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000.

b) số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999 , rồi kết hợp 1 với 998; 2 với 997 ; 3 với 996;… thành từng cặp để có tổng bằng 999, thì mỗi tổng như vậy đều có tổng các chữ số là 27.vì vậy có 499 tổng như vậy ,cộng thêm với số 999 cũng có tổng các chữ số bằng 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500



Bài tập :


  1. Tính

  1. 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160;

  2. 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97;

  3. 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.

  4. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:

A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;

B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;

2. Tính nhanh

a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.

b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40;

c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42.

3.Tìm x biết:

a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);

b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.

Ví dụ 2 .

Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 . 3 ; (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;

b) (am)n = a m . n ; (m,n N).

Giải:

a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3

tương tự làm như vậy tao có: (33)2 = 33 . 2 ; (54)3 = 5 4. 3;

b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m . n ; (m,n N).

Ví dụ 9. a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 .52 với (2.5)2;

b) Hãy chứng minh rằng : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0);

Giải . a) 23.53 = 8.125 = 1000;

(2.5)3 = 103 = 1000;

Vậy 23.53 = (2.5)3

Tương tự ta dễ dàng chưng minh được : (a.b)n = an .bn ; (n ≠ 0);

32 .52 = (2.5)2;

Bài tập:


  1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:

  1. 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );

  2. 5 ; 25; 625; 3125;

2.So sánh các số sau:

a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;

3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:

a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;

4.So sánh:

a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;

5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.

a) tính thể tích của hình lập phương;

b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần.

6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?




Chủ đề 2: TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG


  1. Tính chất 1.nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó :

a m ; b m ; cm a + b + c m .

2. Tính chất 2 ,nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số ,các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó:

a m ; b m ; cm a + b + c m .



Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, trong đó a và b là các số chia hết cho 5 dư 3 còn c là số khi chia cho 5 dư 2.

  1. Chứng tổ rằng mỗi tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đều chia hết cho 5 .

  2. Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho 5 không?

Giải : đặt a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p N)

  1. từ đó ta có :

a + c = (5n + 5p + 5) 5 vì các số hạng đều chia hết cho 5.

Tương tự: b + c = 5m + 5p + 5 5 ; a – b = 5n – 5m 5



  1. a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia hết cho 5 vì 8 5;

tương tự: a + b – c 5 ; a + c – b 5.

Bài tập:

1.Tìm số tự nhiên x để:

a) 113 + x 7

b) 113 + x 13

2. Chứng tỏ rằng:

+ 11 ; - 99;

3.Chứng tỏ rằng:

a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có một và chỉ một số chia hết cho 3;

b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố một và chỉ một số chia hết cho 4;

4. Chứng tỏ rằng :

810 – 8 9 - 8 8 55 ; 7 6 + 7 5 - 7 4 11; 81 7 – 27 9 - 9 13 45; 109 – 10 8 - 10 7 555;

5.Chứng tỏ rằng : nếu số 99 thì + 99 và ngược lại.

6.Chứng tỏ rằng : nếu số 101 thì - 101 và ngược lại

7.Chứng tỏ rằng:

a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37;

b) Hiệu giữa số có dạng và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90.

8. Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm bằng chữ số hang chục . Chứng tỏ rằng tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 12.



Ví dụ1. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau:

  1. Số đó chia hết cho 5;

  2. Số đó chia hết cho 2 và cho 5.

Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905.

b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ;



Ví dụ2. Cho số . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.

Giải. Số 5 nên y = 0 hoặc y = 5.



  • Với y = 0 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 3

hay 12 + (x+ 1) 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.

  • Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430

  • Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430

  • Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430

Với y = 5 , ta có số . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 3 hay 18 + x 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài tập :

  1. Điền chữ số vào dấu * để được số :

  1. Chia hết cho 2 : ; ; ;

  2. Chia hết cho 5 : ; ; ;

  1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:

  1. Lớn nhất và chia hết cho 5;

  2. Nhỏ nhất và chia hết cho 2;

3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và

1995 ≤ n ≤2001 .

4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.

5. Chứng tỏ rằng:

a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;

b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;

6. Chứng tỏ rằng:

a) (5n + 7 )(4n + 6) 2 với mọi số tự nhiên n;

b) (8n + 1 )(6n + 5) 2 với mọi số tự nhiên n;

7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao?

8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai?

9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.

a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số trên?

b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5?


Bài tập cñng cè:

1.Điền chữ số vào dấu * để:

a) 2001 + chia hết cho 3;

b) chia hết cho 9;

2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 :

3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:

a) Chia hết cho 9;

b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 3

5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?

102001 + 2 ; 102001 – 1 .

6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 2 và 9.

7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số chia hết cho 445.

8. Tìm tất cả các số có dạng , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.

9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Là só có ba chữ số;

b) Là số chia hết cho 5;

c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;

d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;

Chủ đề 3: CỘNG HAI SỐ NGUYÊN



Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu của chúng




Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết:

  1. - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 .

Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)

= - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55



  1. 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là

B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.

Bài tập:

  1. So sánh :

    1. │3 + 5│ và │3│ + │5│;

    2. │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│;

Từ đó rút ra nhận xét gì về │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b Z.

  1. Điền dấu < , > vào ô trống một cách thích hợp:

a) 7 + │- 23│ 15 + │- 33│

b)│- 11│ + 5 │- 8│ + │- 2│
c) │- 21│+│- 6│ - 7

3. Tìm x Z biết :

a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│

b) │- 3│ + │- 7│ = x + 3

c) 8 +│x│ = │- 8│+ 11;

d) │x│ + 15 = - 9

4. Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5.

5. Cho 1 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là số nguyên dương?



  1. Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 .

  2. Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Với mọi số nguyên a ta có a + 0 = 0 + a = a.
Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) trong đó dấu * chỉ dấu “ + “ hoặc dấu “ –“ . hãy xác định dấu của các số hạng để tổng bằng:

  1. 22 ; b) – 22 ; c) 8 ; d) - 8 .

Giải . Trong câu a và b , giá trị của tổng bằng tổng các giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên cùng dấu . dấu của tổng là dấu chung của hai số hạng đó, ta có :

  1. (+ 15) + (+7) = 22;

  2. (- 15) + (- 7) = - 22

Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối của tổng bằng hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên khác dấu. dấu của tổng là dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:

  1. (+ 15) + (- 7) = 8;

  2. (- 15) + (+ 7) = - 8.


Bài tập.

  1. Tính tổng │a│ + b , biết:

    1. a = - 117 , b = 23;

    2. a = -375 , b = - 725;

    3. a = - 425 , b = - 425 .

  2. Tìm x Z , biết :

    1. x + 15 = 105 + ( - 5);

    2. x – 73 = (- 35) + │- 55│;

    3. │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│.

  3. thay dấu * bằng chữ số thích hợp :

    1. ( - *15) + ( - 35) = - 150;

    2. 375 + ( - 5*3) = - 288;

    3. 155 + ( - 1**) = 0.

  4. Tính tổng của hai số nguyên:

    1. Liền tiếp và liền sau số + 15;

    2. Liền trước và liền sau số - 37;

    3. Liền trước và liền sau số 0;

    4. Liền trước và liền sau số a.

5.a) Viết số - 7 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 10.

b) Viết số - 15 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 20.


Chủ đề 4: QUY TẮC DẤU NGOẶC,

QUY TẮC CHUYỂN VẾ



1. Quy tắc dấu ngoặc : khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “ + “ . Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

2. Tổng đại số: trong một tổng đại số ta có thể :

- Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng;

- Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu đằng trước dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc



Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51.

Giải. áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có:

A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51

= - (3752 – 3632) – ( 29 + 51)



= - 120 – 80 = - 200.

Bài tập.

  1. Tính nhanh:

  1. 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999);

  2. 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 );

  3. - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440).

  1. Tìm số nguyến x , biết :

  1. 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289)

  2. 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415);

  3. 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746.

  1. Tính giá trị của biểu thức a – b – c , biết:

  1. a = 45 , b = 175 , c = - 130;

  2. a = - 350, b = - 285, c = 85;

  3. a = - 720 , b = - 370 , c = - 250.

  1. Cho n số nguyên bất kì : a1, a2 ,…,an. chứng tỏ rằng S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│ là một số chẵn.

  2. Cho 15 số tự nhiên khác nhau và khác 0 , trong đó mỗi số không lớn hơn 28. Chứng tỏ rằng trong 15 số dã cho bao giờ cũng tìm được ít nhất một nhóm gồm 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại hoặc một nhóm gồm 2 số mà số này gấp đôi số còn lại.

Quy tắc chuyển vế.


  1. Tính chất của đẳng thức : khi biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các tính chất sau:

Nếu a = b thì a + c = b + c;

Nếu a + c = b + c thì a = b;

Nếu a = b thì b = a .

  1. Quy tắc chuyển vế : khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành dấu “ + “.





Ví dụ: Tìm x Z , biết :

  1. 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15.

  2. x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16.

Bài tập:

  1. Tìm y Z , biết :

  1. y + 25 = - 63 – ( - 17);

  2. y + 20 = 95 _ 75;

  3. 2y – 15 = -11 – ( - 16);

  4. - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26).

  1. Cho ba số - 25; 15; x (x Z). tìm x , biết :

    1. Tổng của ba số trên bằng 50;

    2. Tổng của ba số trên bằng - 35;

    3. Tổng của ba số trên bằng – 10.

  2. Cho x , y Z . Hãy chứng minh rằng:

    1. nếu x – y > 0 thì x > y ;

    2. nếu x > y thì x – y > 0.

  3. Cho a Z. tìm số nguyên x biết:

    1. a + x = 11 ;

    2. a – x = 27.

Trong mỗi trường hợp hãy cho biết với giá trị nào của a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0?

  1. Cho aZ. tìm x Z biết

    1. │x│= a ;

    2. │x + a│ = a.



Chủ đề 5: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN



  1. Bội và ước của một số nguyên : cho a , bZ và b≠ 0 . nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. ta còn nói a là bội của b va b là ước của a.

Chú ý :

    • Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được q và viết a : b = q.

    • Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.

    • Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

    • Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên.

  1. Tính chất:

  • Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c :

a b và b c a c.

  • Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b :

m Z ta có a b a = am b.

  • Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c

a c và b c ( a + b ) c và ( a – b ) c.


Ví dụ . Tìm số nguyên n , sao cho: (n - 6) ( n – 1 ).

Giải . (n - 6) ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5] ( n – 1 ) suy ra ( - 5) ( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5). Do đó:

  • Nếu n – 1 = -1 thì n = 0;

  • Nếu n – 1 = 1 thì n = 2;

  • Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4;

  • Nếu n -1 = 5 thì n = 6.

Thử lại:

  • Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6) ( - 1);

  • Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4) 1;

  • Với n = -4 thì n – 6 = - 10 , n- 1 = -5 và (– 10) ( - 5);

  • Với n = 6 thì n – 6 = 0 , n- 1 = 5 và 0 5;

vậy n = - 4 , 0 , 2 ,6.

Bài tập

  1. Chứng tỏ rằng :

  1. Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3;

  2. Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5.

  1. Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 111…11 ; ( 2001 chữ số 1)?

  2. Tìm số nguyên n sao cho:

  1. (3n + 2) ( n – 1 ).

  2. (3n + 24) ( n – 4 ).

  3. (n2 + 5) ( n + 1 ).

  1. Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31. điều ngược lại có đứng không?

  2. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì :

  1. ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9;

  2. ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;


Chủ đề 6: RÚT GỌN PHÂN SỐ


    1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một số ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian hơn.

    2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số tối giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.




Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số là phân số tối giản với n N.

Vì n N , nên 5n + 3N* và 3n + 2 N* . do vậy để chứng minh phân số là phân số tối giản với n N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d N và d≥ 1) , ta có 5n + 3 d và 3n + 2 d , do đó 3(5n + 3) d và 5(3n + 2) d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3) hay 15n + 10 – 15n – 9 d , hay 1 d , do đó d = 1 .vậy phân số là phân số tối giản với n N.

Vì dụ . tìm phân số bằng phân số , biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.

Giải . ta có: = . Các phân số pahir tìm có dạng (k Z , k ≠ 0).

Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.

Vậy phân số phải tìm là : =

Bài tập


  1. Rút gọn các phân số sau: a) b)

  2. Rút gọn các phân số sau:

a) ; b)

3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:

a) b) .

4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số là phân số tối giản.

5. a) Cho phân số . Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số ?

b) Cho phân số . Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số ?

6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, 9.

7. Tìm phân số tối giản , biết:

a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;

b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.

8. Tìm phân số , biết :

a) Phân số đó bằng phân số và BCNN của tử và mẫu là 360;

b) Phân số đó bằng phân số và ƯCLN của tử và mẫu là 36.

9. Tìm phân số , biết rằng phân số đó bằng phân số .

10. Chứng tỏ rằng nếu phân số là số tự nhiên với n N thì cá phân số là các phân số tối giản.

Chủ đề 7: QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ


Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:

Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.

Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.


Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau:

; .

Giải. rút gọn các phân số:



= = = ;

= = = = ;

= = = .

Quy đồng mẫu ba phân số : ;;.

Mẫu chung : 7.9.11 = 693.

Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.

Vậy : = = ; = = ; = =.

Bài tập:


    1. Tìm mẫu chung của các phân số sau :

a) ; b)

2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có

a) BC của các tử là 210;

b) BC của các mẫu là 210;

c) BC của các tử và mẫu là 210;

3. Tìm các chữ số a , b ,c để:

a) Phân số = a + b;

b) Phân số = .

4. Cho ba phân số:

;;

Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó.

5. Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với 7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu.

6. a) Tìm phân số bằng phân số , có tích giữa tử và mẫu bằng 324;

b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số nguyên tố 2 và 5.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Môn thi: Toán lớp 6

Thời gian làm bài: 90 phút

C©u 1: (3 ®iÓm) TÝnh

a) 4. 52 – 3. (24 – 9) b) c)



C©u 2: (3 ®iÓm) T×m x biÕt

a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) -(- 4) c)



C©u 3: (5 ®iÓm)

1) Cho: A = 1 – 2 + 3 – 4 + … + 99 – 100.

a) TÝnh A

b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 kh«ng ?

c) A cã bao nhiªu ­íc tù nhiªn? Bao nhiªu ­íc nguyªn?

2) Thay a, b b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp sao cho

3) Cho a lµ mét sè nguyªn cã d¹ng a = 3b + 7 (bZ). Hái a cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo trong c¸c gi¸ trÞ sau ? T¹i sao ?

a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.



C©u 4: (3 ®iÓm)

a) T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt biÕt r»ng sè ®ã chia cho 9 d­ 5, chia cho 7 d­ 4 vµ chia cho 5 th× d­ 3

b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272

B = 201273 - 1. So s¸nh A vµ B.



C©u 5: (6 ®iÓm)

Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm.

a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz.


-----------------------------HÕt------------------------------
HƯNG DN CHM THI HC SINH GII CP TRƯỜNG


C©u

§¸p ¸n

§iÓm

C©u 1:

(3 ®iÓm)


a) 55

b)

c)


1
1
1

C©u 2:

(3 ®iÓm)


a) x= 25

b) x = 12 hoÆc x = - 26

c) x =


1
1
1

C©u 3:

(5 ®iÓm)


1)

a) A = - 50

b) A 2 cho 5 A kh«ng chia hÕt cho 3

c) A cã 6 ­íc tù nhiªn vµ cã 12 ­íc nguyªn


1

0,5



0,5


2) Ta cã 45 = 9.5 mµ (5; 9) = 1

Do suy ra

Do

Nªn b = 0 hoÆc 5

TH1: b = 0 ta cã sè

§Ó th× (2 + 4 + a + 6 + 8 + 0) 9

Hay a + 20 9

Suy ra a = 7 ta cã sè 247680

TH2: b = 5 ta cã sè

§Ó th× (2 + 4 + a + 6 + 8 + 5) 9

Hay a + 25 9

Suy ra a = 2 ta cã sè 242685


VËy ®Ó th× ta cã thÓ thay a = 7; b = 0 hoÆc a = 2; b =5


0,5

0,5

0,5


3) Sè nguyªn cã d¹ng a = 3b + 7 (bZ) hay a lµ sè chia cho 3 d­ 1

VËy a cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo trong c¸c gi¸ trÞ sau

a = 2002; a = 22789 ; a = 29563


0,5

1


C©u 4:

(3 ®iÓm)


a) T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt biÕt r»ng sè ®ã chia cho 9 d­ 5, chia cho 7 d­ 4 vµ chia cho 5 th× d­ 3

Gäi sè cÇn t×m lµ a

Ta cã a chia cho 9 d­ 5

a = 9k + 5 (k N) 2a = 9k1 + 1 (2a- 1) 9

Ta cã a chia cho 7 d­ 4



a = 7m + 4 (m N) 2a = 7m1 + 1 (2a- 1) 7

Ta cã a chia cho 5 d­ 3



a = 5t + 3 (t N) 2a = 5t1 + 1 (2a- 1) 5

(2a- 1) 9; 7 vµ 5

Mµ (9;7;5;) = 1 vµ a lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt



2a – 1 = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315

VËy a = 158


b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272

B = 201273 - 1. So s¸nh A vµ B.

Ta cã 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273

LÊy 2012A – A = 201273 – 1

VËy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.



0,5

0,5

0,5
0,5



0,5

0,5


C©u 5:

(6 ®iÓm)


VÏ h×nh ®óng

a)


Trªn tia Oy ta cã OM = 1 cm < OB = 4 cm

VËy M lµ ®iÓm n»m gi÷a O vµ B

Do M n»m gi÷a O vµ B ta cã OM + MB = OB

MB = OB – OM = 4 – 1 = 3

Do A thuéc tia Ox M thuéc tia Oy nªn O n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ M suy ra OM + OA = MA

MA = 2 + 1 = 3 cm

MÆt kh¸c do A, B n»m trªn hai tia ®èi nhau, M l¹i n»m gi÷a O vµ B nªn suy ra M n»m gi÷a A vµ B

VËy M lµ trung ®iÓm cña AB

b) TH1: Tia Ot vµ tia Oz trªn cïng mét n÷a mÆt ph¼ng

Do yOt = 1030 , yOz = 300 suy ra tia Oz n»m gi÷a hai tia Ot vµ Oy. Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000

TH2: Tia Ot vµ tia Oz kh«ng n»m trªn cïng mét n÷a mÆt ph¼ng bê lµ xy

Suy ra tia Oy n»m gi÷a hai tia Ot vµ Oz

Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 + 300 = 1600
(Häc sinh kh«ng vÏ h×nh, hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng tÝnh ®iÓm)


0,5

0,5
0,5


0,5

0,5


0,5

1

0,5


0,5

1



Ghi chó: - ThÝ sinh tr×nh bµy ®óng néi dung bµi lµm cho 20 ®iÓm.

- NÕu tr×nh bµy theo c¸ch kh¸c mµ ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.

- §iÓm cña toµn bµi lµ tæng ®iÓm thµnh phÇn vµ ®­îc lµm trßn sè ®Õn 0,5®.


§Ò thi chän häc sinh giái líp 6 cÊp tr­êng n¨m häc

M«n: To¸n - Thêi gian : 90 phót

C©u 1: (4®)

Cho ph©n sè (Víi n N*)

a) ViÕt A thµnh tæng cña hai ph©n sè kh«ng cïng mÉu .

b) T×m n ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.



C©u 2: (4®) T×m x biÕt: a) 60% x + x = - 76

b)



C©u 3: (4®) T¹i mét buæi häc ë líp 6A sè häc sinh v¾ng mÆt b»ng sè häc sinh cã mÆt. Ng­êi ta nhËn thÊy r»ng nÕu líp cã thªm 1 häc sinh nghØ häc n÷a th× sè häc sinh v¾ng mÆt b»ng sè häc sinh cã mÆt. TÝnh sè häc sinh cña líp 6A .

C©u 4: (5®)

Cho gãc BOC b»ng 750 . A lµ mét ®iÓm n»m trong gãc BOC. BiÕt BOA = 400 .

a) TÝnh gãc AOC .

b) VÏ tia OD lµ tia ®èi cña tia OA. So s¸nh hai gãc BOD vµ COD .



C©u 5 (3®): Chøng minh a + 2b chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi b + 2a chia hÕt cho 3 .


§¸p ¸n bµi thi HSG cÊp tr­êng



C©u

®¸p ¸n

®iÓm


1

(4®)


a) HS lµm, cho kÕt qu¶



b) Ta cã A ®¹t GTLN khi lín nhÊt. Víi n N* th× lín nhÊt khi n nhá nhÊt vµ b»ng 1.

Lóc ®ã A max = + 5 = 5,5 . VËy víi n = 1 th× A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . GTLN ®ã b»ng 5,5 .








2

(4®)


a) HS thùc hiÖn phÐp tÝnh ®­îc x = - 60




b) Ta cã:

Suy ra:


Hay .Tõ ®©y t×m ®­îc x = - 43/ 60 .

0,5®
0,5®


3

(4®)


Lóc ®Çu sè HS v¾ng mÆt b»ng 1/8 sè HS c¶ líp. NÕu cã thªm 1 HS n÷a v¾ng mÆt th× sè HS v¾ng mÆt b»ng 1/7 sè HS c¶ líp. Nh­ vËy 1 HS b»ng

( HS c¶ líp) . VËy sè HS c¶ líp lµ 1 : = 56 ( häc sinh) .


3đ

4

(5®)


a) (2,5®) V× ®iÓm A n»m trong gãc BOC nªn tia OA n»m gi÷a hai tia OB vµ OC.

Do ®ã: BOA + AOC = BOC

BOA = 400 , BOC = 750 nªn



AOC = 750 - 400 = 350 .

b) (2,5®) V× OD lµ tia ®èi cña tia OA nªn c¸c gãc AOB vµ BOD; AOC vµ COD lµ hai gãc kÒ bï, do ®ã:



AOB + BOD = 1800 , HS suy ra ®­îc BOD = 1400 (1)

LËp luËn t­¬ng tù ®­îc :



COD = 1450 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc BOD < gãc COD

400

D

350



O

B

A



C


5

(3®)

* NÕu b + 2a 3:

Ta cã : => ( 3a + 3b) - (b + 2a) 3 hay a + 2b 3

* NÕu a + 2b 3 , HS lËp luËn t­¬ng tù ®­îc b + 2a 3

VËy ta lu«n cã a + 2b chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi b + 2a chia hÕt cho 3 .



1,5®
1,5®

Chó ý: Häc sinh lµm c¸c c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.

Bµi h×nh nÕu vÏ h×nh sai hoÆc kh«ng vÏ h×nh th× kh«ng cho ®iÓm bµi h×nh.


Giáo án BDHSG 6 Page Năm học 2017 - 2018



Поделитесь с Вашими друзьями:


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©tieuluan.info 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương