Chương I cơ sở lí luận 7 Tư duy và đặc trưng cơ bản của tư duy 7



tải về 244.17 Kb.
trang3/3
Chuyển đổi dữ liệu23.12.2018
Kích244.17 Kb.
1   2   3

Ví dụ 2.3

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm của

cạnh BC. O là tâm hình vuông ABCD.

a. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (ACC’A’);

b. N là trung điểm của DC. Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’);

c. Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt D’C’ tại N’. Tính khoảng cách từ điểm N’ đến mp(ACC’A’);

d. là trọng tâm AC’D’. Tính khoảng cách từ điểm đến mp(ACC’A’);

e. là trọng tâm AC. Tính khoảng cách từ điểm đến mp(ACC’A’).



Nhận xét:

Ví dụ này được tạo ra trên cơ sở ví dụ 1.1 và ví dụ 2.1 nhằm để sử dụng kết quả đã có nhưng không phải dưới dạng tường minh mà đòi hỏi phải tư duy, hoạt động tích cực trong suy nghĩ để đưa bài toán về dạng quen thuộc, nghĩa là tư duy của học sinh phải linh hoạt và khả năng biết quy lạ về quen.



Lời giải.
a. Ta có BD  (ACC’A’)

Kẻ Mx // BD cắt AC tại H. Lúc đó:



nên

Vậy .

b. Ta có MN là đường trung bình của BDC nên MN // BD

Suy ra H, M, N thẳng hàng và HM = HN

Khi đó d(M, (ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) hay d(M, (ACC’A’)) =;

c. Vì NN’ // CC’ nên NN’ // (ACC’A’). Suy ra

d(N’,(ACC’A’)) = d(N, (ACC’A’)) = .

d. là trọng tâm AC’D’ nên:

Lúc đó

Hay ;

e. BD cắt AC tại O nên O là trung điểm của AC. Do là trọng tâm của tam giác AC nên .

Suy ra

Vậy .

Qua hệ thống các ví dụ, học sinh được rèn luyện kỹ năng xác định và tính toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nhưng để có được sự sáng tạo người giáo viên phải tạo ra thói quen cho học sinh, không nên chỉ học các định lí, cách chứng minh hay tính toán đơn thuần mà thông qua đó phải luôn biết phát hiện vấn đề, biết đặt ra những câu hỏi tốt, biết hoài nghi…Từ đó sử dụng suy luận có lí để giải quyết vấn đề. Trong thực tế mọi phát minh đều trải qua quá trình dự đoán, thử nghiệm, khái quát hóa hay tương tự hóa để đưa ra giả thuyết. Vấn đề giải toán cũng vậy, không phải dừng ở việc tính toán khoảng cách mà trên cơ sở bài toán, phương pháp giải ta có thể tìm kiếm, sáng tạo nên những bài toán mới và tự mình đưa ra lời giải.

Ta có thể minh họa bằng ví dụ 2.2, ở câu c nếu G không là trọng tâm của tam giác SCM mà là trọng tâm của tam giác khác thì có tính được khoảng cách từ G đến mp(SBC) không? một câu hỏi đặt ra là “với giả thiết bài toán, kết quả câu a, b ta tìm G là trọng tâm của tam giác nào thì tính được khoảng cách từ G đến mp(SBC)?”.Vấn đề đặt ra cùng với hoạt động tích cực của trí óc, sử dụng những suy luận lí để sáng tạo nên những bài toán mới.

Ví dụ 2.2.1

Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho AS = a.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b. Gọi M là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC);

c. Trên MK lấy điểm N sao cho . Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(SBC).

d. Gọi Q là trọng tâm tam giác SBN. Tính khoảng cách từ điểm Q đến mp(SBC).

Tương tự quá trình như trên ta cũng sáng tạo nên bài toán mới từ ví dụ 2.3 thành :

Ví dụ 2.3.1

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(ACC’A’);

b. N là trung điểm của cạnh DC. Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’);

c. Từ N kẻ Nt // CC’cắt D’C’ tại N’. Gọi G’ là trọng tâm tam giác CAN’. Tính khoảng cách từ điểm G’ đến mp(ACC’A’);

d. G” là trọng tâm tam giác AG’A’. Tính khoảng cách từ điểm G’’

đến mp(ACC’A’).

* Kết hợp vấn đề 1 và vấn đề 2 ta rút ra kết luận:

Cho mặt phẳng ( và 2 điểm A, E không thuộc mp()

+ Nếu AE // () thì d(A, (d(E, ());

+ Nếu AE cắt () tại M và thì d(E, ()) = k d(A,()).

Vấn đề 1 và vấn đề 2 đã trình bày các ví dụ tính khoảng cách của các điểm cùng phía với A hoặc khác phía với A so với mặt phẳng ().Vậy đối với các bài toán yêu cầu tính khoảng cách một số điểm cùng phía xen kẽ một số điểm khác phía A so với mặt phẳng ( thì việc tính toán sẽ như thế nào? ta xét tiếp ví dụ:



Ví dụ 2.4

Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC.

a. Chứng minh mp(SIC)  mp(SED);

b. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);

c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);

d. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);



Nhận xét: Các cặp điểm I và C, C và A nằm khác phía so với mp(SED)

Lời giải.

a. ABCD là hình vuông nên ED  IC (1)

SI là đường trung tuyến của  đều ABC nên SI  AB mà

(SAB)  (ABCD) nên SI  (ABCD), suy ra

SI  IC ( vì IC  mp(ABCD)) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IC  (SED) do đó (SIC)  (SED);

b. Gọi J là giao điểm của ED và IC, kẻ IH  SJ thì

d(I, (SED)) = IH

Xét SIJ vuông tại I. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(*)

Trong đó ( đường cao của tam giác đều cạnh a) (3)

Mặt khác ECD vuông tại C có:

Suy ra CJ = .

mặt khác IC =nên

IJ = IC – JC = hay (4)

Thay (3) và (4) vào (*) ta có:

do đó

Vậy .

c. Ta có IC  (SED)  J, xét tỉ số

=

Do đó hay ;

d. Gọi F là giao điểm của AB và DE, khi đó

suy ra B là trung điểm của FA

Ta có nên

hay a .

Nhận xét: Ở ví dụ 2.4 này mức độ khó khăn và phức tạp của bài toán đã được nâng cao, ở câu b nó không có sẵn tỉ số , cũng không có điểm đặc biệt như trọng tâm, trung điểm, nếu theo hướng suy nghĩ cũ sẽ khó tìm ra lời giải. Lúc này cần có sự mềm dẻo trong tư duy tức là có năng lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, biết biến kiến thức kỹ năng sẵn có vào hoàn cảnh mới, biết nhìn nhận vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Cụ thể trong bài này ta có thể tính được độ dài đoạn JC, JI thay vào ta có tỉ số , từ đó đưa về bài toán quen thuộc đã biết.

Nằm trong hệ thống bài tập này đề thi Đại học khối D năm 2007 đã có một bài “Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).”



Gợi ý giải:

Lấy I là trung điểm của AD, khi đó IA = ID = IC = a, suy ra CD  AC mà CD  SA nên CD  SC hay tam giác SCD vuông tại C.

+ Tính d(H, (SCD))

Xét tam giác vuông SAB có

Do đó

mà d(B, (SCD)) = d(I, (SCD),

nên ;

Mặt khác ta có :

CD  SC (theo chứng minh trên)

CD  SA (vì SA  (ABCD))

(SCD)  (SAC)  SC

Kẻ AJ  SC (J thuộc SC) thì J là trung điểm của SC ( vì tam giác SAC cân

tại A).

Khi đó d(A, (SCD)) = AJ

Xét tam giác SAC vuông tại A có nên SC = 2a;

suy ra d(A,(SCD)) = a

Vậy .


      1. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Với các bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau thì ta đưa về bài toán t ính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 3.1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.



Lời giải

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))

Ta có AO  (SBC)  C và do đó

d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;

SO  (ABCD) nên SO  BC

Kẻ SJ  BC thì J là trung điểm của BC

Suy ra BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ)

(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH

Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

,

Suy ra

Vậy

Sau khi đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét trong phần định nghĩa về khoảng cách để phát hiện d(AD, SC) = d(AD, (SBC)). Rõ ràng ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, do đó cần sử dụng các kỹ năng đã trình bày ở vấn đề này để giải quyết bài toán. Như vậy nếu biết sắp

xếp các bài toán có tính hệ thống thì việc giải toán của học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy được lối tư duy tích cực, sự kế thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục vụ vào giải các bài toán mới. Với giả thiết của bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh tính tiếp:

b. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB;

c. Từ B kẻ đường thẳng song song với SC cắt CH tại K, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SK.

Theo lối tư duy trên học sinh sẽ nhận ra:

d(AD, SB) = d(A, (SBC)) =

d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) = .



Ví dụ 3.2

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), SA = a. E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau



  1. AC và SD

  2. AC và SE

Lời giải

E là điểm đối xứng của B qua A nên  AEDC là hình bình hành. Do đó AC // ED hay AC // (SED) (1)

suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED));

* Tính d(A, (SED))

SA  ED, kẻ SK  ED(KED) thì ED  (SAK) suy ra (SED)  (SAK);

(SED)  (SAK)  SK. Kẻ AH  SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH

SAK và EAD là các tam giác vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:



Suy ra hay

Vậy .

Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) =



Nhận xét:

AC // (SED)



khi đó d(AC, SE) = d(AC, (SD) = d(AC, (SED)).

Qua hai ví dụ 3.1 và 3.2 cùng với nhận xét ta giúp học sinh rút ra kết luận:



d(a, b) = d(a, mp(với a, b là các đường thẳng.

Ví dụ 3.4 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007).

“Cho chóp tứ giác đều SABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD; tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.”



Lời giải.

Gọi P là trung điểm của AS, khi đó MP // NC và MP = NC (đều bằng nửa a). Do đó MPCN là hình bình hành, suy ra MN // PC (1).

Mặt khác BD  (SAC) nên BD  PC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MN  BD ;

d(MN,AC) = d(MN, (SAC)) trong đó d(MN,(SAC)) = d(N, (SAC)),

, suy ra

Vậy .



KẾT LUẬN

Trong đề tài này tôi đề cập đến các vấn đề:



  1. Tìm hiểu khái niệm tư duy, tư duy tích cực, tư duy sáng tạo và mối quan hệ giữa chúng.

  2. Một số biện pháp phát huy, bồi dưỡng tính tích cực sáng tạo của học sinh thông qua dạy học toán đã được nhiều tác giả nghiên cứu.

  3. Tiềm năng phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh khi day bài tập khoảng cách.

  4. Đặc điểm bài khoảng cách và những khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải các bài toán về chúng.

  5. Xây dựng các bài tập khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực tư duy sáng tạo của học sinh.

Phải nói rằng các bài toán về khoảng cách thực sự hấp dẫn bởi tính trừu tượng và phong phú của nó. Tuy nhiên với học sinh THPT thì đây là vấn đề gây nhiều khó khăn và tâm lý e ngại của các học sinh trung bình khi giải các bài toán về khoảng cách. Vì vậy khóa luận giúp học sinh có được hứng thú, sự đam mê, khả năng sáng tạo, khám phá nên những bài toán mới trên cơ sở những bài tập đã biết, từ đó đưa ra hướng giải đối với các bài toán cụ thể.

Đề tài đã xây dựng một số bài tập về khoảng cách có tính hệ thống để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh nhưng chưa thể đưa ra được tất cả các phương hướng phát triển tư duy. Vì vậy mong quý thầy cô và các bạn góp ý cho đề tài thêm hoàn chỉnh.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Thành Minh: Giải toán hình học 11, NXB Giáo dục 1997.

[2] Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thành, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục 2007.

[3] GPÔLIA, Giải bài toán như thế nào, NXB Giáo dục 1997 .

[4] GPÔLIA, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục 1997 .

[5] Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, NXB ĐH Quốc gia 1997.

[6] Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian, NXB Trẻ .

[7] Tạp chí giáo dục số 196 kì 2/ 8/2008.









Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©tieuluan.info 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương