Chương I cơ sở lí luận 7 Tư duy và đặc trưng cơ bản của tư duy 7


XÂY DỰNG VÀ SẮP XẾP CÁC BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH CÓ TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CHO HOC SINH



tải về 244.17 Kb.
trang2/3
Chuyển đổi dữ liệu23.12.2018
Kích244.17 Kb.
1   2   3

2.4 XÂY DỰNG VÀ SẮP XẾP CÁC BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH CÓ TÍNH HỆ THỐNG ĐỂ PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CHO HOC SINH.

2.4.1 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng(). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (. Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song



Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp().

+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song





Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau



Định nghĩa

Đường vuông góc chung : Đường thẳng  cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Nếu đường vuông góc chung  cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.



Nhận xét.

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo

nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai

đường thẳng đó và mặt phẳng song song

với nó chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta rút ra kết luận: Bài toán tìm khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu muốn làm tốt các bài tập về khoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trên ý tưởng này khoá luận đi sâu vào xây dựng hệ thống các bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đồng thời thông qua việc giải các bài tập đó để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh.

2.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Sau đây ta sẽ xây dựng các bài tập khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có tính hệ thống nhằm phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh.



Bài toán 1:

Cho mặt phẳng () và một điểm A không nằm trong mặt phẳng đó, M là điểm bất kì nằm trên mp(). Xét các điểm E nằm trên đường thẳng đi qua AM sao cho . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mp() và khoảng cách từ điểm E đến mp( có mối quan hệ như thế nào? Sau đây ta sẽ giải quyết câu hỏi đặt ra đồng thời xây dựng một số bài tập có tính hệ thống nhằm phát triển tư duy cho học sinh dựa trên kết quả của bài toán này.



VẤN ĐỀ I: Xét các điểm A và E nằm cùng phía với mp(

Kết quả bài toán 1 như thế nào trong trường hợp điểm E nằm trên tia MA? Ta xét ví dụ sau:



Ví dụ 1.1.

Cho mặt phẳng (), điểm A không thuộc mặt phẳng (), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (), E là điểm thuộc AM sao cho.

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ().

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng ().

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng ().

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ().



Lời giải.

a. H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng () nên :

d(A,()) = AH = h.

b. Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (). Khi đó

d(E, ()) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp()) và M, P, H thẳng hàng

Theo định lí Tallet ta có :

Khi đó EP = k . AH hay d(E, ()) = k . h (1)

Vì I là trung điểm của AM nên :

d(I, ()) =.h (áp dụng kết quả (1) với k =).

c. Dễ thấy IJCQ là hình chữ nhật nên IQ = JC

Do đó d(J, ()) = d(I, ()) hay d(J, ()) = . h.

d. D là trung điểm của JC nên

Lúc đó d(Q, ()) = d(J, ()) = . h hay d(Q, ()) = .h .

Ví dụ này được tạo ra với hệ thống câu hỏi từ a đến d nhằm gây sự chú ý, lôi cuốn học sinh tập trung vào bài học. Trước hết ta đưa ra câu a thì 1 học sinh yếu cũng có thể xác định được. Với câu hỏi này học sinh sẽ tập trung chú ý vào bài học và có thể tự mình thực hiện yêu cầu của bài toán, từ đó có hứng thú và mong muốn giải được câu tiếp theo. Ở đây giáo viên đã bắt đầu kích thích tính tích cực của học sinh. Tiếp theo với sự tập trung các em sẽ suy nghĩ để xác định khoảng cách từ E đến mặt phẳng (), nó là đoạn nào? Tình huống bắt buộc học sinh suy ngẫm và sử dụng vốn kiến thức cũ như: xác định hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng, quan hệ song song và vuông góc, định lí Tallet …để tính khoảng cách từ E đến mp (). Ta tiếp tục yêu cầu tính khoảng cách của một điểm cụ thể trên AM đến mặt phẳng (). Ví dụ như khoảng cách từ điểm I đến mp() ở bài toán trên. Tiếp tục quá trình suy nghĩ để phát hiện trường hợp I là trung điểm của AM thì tỉ số k lúc này bằng mấy? ngang đây ta vẫn đang phát huy tính tích cực của học sinh, theo quá trình đó, các em bắt đầu độc lập suy nghĩ và giải quyết tiếp các câu hỏi c và d. Như vậy việc sắp xếp hệ thống các câu hỏi góp phần quyết định sự phát triển tư duy của học sinh. Với sự phát triển đó các em sẽ tự phát hiện ra: trong bài tập không phải lúc nào cũng tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng mà nhiều lúc việc tính gián tiếp thông qua khoảng cách từ điểm khác đến mặt phẳng đó lại đơn giản và thuận tiện hơn. Với kết luận này tư duy của học sinh không phải là tích cực nữa mà có sự chuyển biến sang tư duy độc lập, tức là tự mình suy nghĩ vấn đề và đưa ra những kết quả nhỏ. Nhu cầu đặt ra bây giờ là được kiểm nghiệm, vận dụng những phát hiện mà bản thân đã rút ra từ ví dụ 1, ta sẽ xét tiếp ví dụ:

Ví dụ 1.2.

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB)  (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

d. Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e. G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).

Nhận xét: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia, áp dụng giả thiết bài toán ta có được câu a. Trên kết quả câu a và định lí:

 a  (

ta xác định được khoảng cách từ A đến mp(SBC) từ đó tính ra khoảng cách.

Câu c, d gợi cho ta nhớ đến kết quả rút ra ở ví dụ 1, trên cơ sở kết quả tính được ở câu b suy nghĩ và áp dụng để tìm ra lời giải. Đến câu e giả thiết cho dưới dạng lạ hơn đòi hỏi phải có suy nghĩ, hoạt động tích cực để tìm ra mối liên hệ giữa khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) và các khoảng cách đã biết như : d(A, (SBC)), d(J, (SBC)), hay d(I, (SBC)).

Lời giải

a. Theo giả thiết ta có: SA  (ABC)

suy ra SA  BC (1)

mà AB  BC (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra : BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) .

b. Ta có (SAB)  (SBC)  SB

Kẻ AH  SB (H thuộc SB). Do SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB,khi đó AH  ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AH

Xét SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

Khi đó.

c. Ta có (do I là trung điểm của AB) nên



Vậy .

d. Tương tự J là trung điểm của AC nên , khi đó

.

e. Vì G là trọng tâm ABC nên có

Lúc đó

Hay .

Đối với ví dụ này ta cũng đưa ra lần lượt các câu hỏi từ a đến e theo mức độ khó dần và nâng cao. Hoạt động chia các bước nhỏ như trên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng đồng thời việc nâng cao mức độ khó dần của câu hỏi là sự phát triển trong tư duy của học sinh. Từ tư duy tích cực được phát triển cao dần đến sự độc lập trong suy nghĩ, tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự bản thân kiểm tra và hoàn thành kết quả . Nếu như ở ví dụ 1 học sinh tích cực hoạt động tìm ra lời giải và đưa ra những kết luận nhỏ thì ở ví dụ 2 học sinh tiếp tục theo lối phát triển đó để kiểm nghiệm lại kết quả. Các em đã biết hoài nghi khoa học, biết đặt ra câu hỏi tại sao? Như thế nào? liệu có đúng không? trong quá trình lĩnh hội kiến thức. Điều này cho ta thấy sự phát triển trong tư duy, đặc biệt là tư duy độc lập - cơ sở để có được tư duy sáng tạo ở các em.

Ví dụ 1.1 đã được áp dụng vào bài toán cụ thể về hình tứ diện. Vậy đối với hình khác như chóp tứ giác, hình hộp thì việc áp dụng và tính toán có phức tạp hơn không, ta xét tiếp các ví dụ sau.



Ví dụ 1.3.

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a. O là tâm hình vuông ABCD.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);

c. là trọng tâm ∆SAC. Từ kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I. Tính khoảng cách từ điểm đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

d. J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e. Gọi là trọng tâm của ∆SDC. Tính khoảng cách từ điểm đến mp(SBC).

Lời giải.

a. Kẻ AH  SB(1);

Ta có SA  AD ( vì SA(ABCD))

Mà AB  AD (ABCD là hình vuông) suy ra AD  (SAB)

Vì BC // AD nên BC  (SAB)

Lại có AH  (SBC) nên BC  AH (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra AH  (SBC). Khi đó d(A, (SBC)) = AH

Xét ∆SAD vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:



Suy ra AH = .

b. O là trung điểm của AC nên d(O, (SBC)) = d(A,(SBC))

hay d(O,(SBC)) =

c. là trọng tâm ∆SAC nên :

Khi đó hay



.

I // SB nên d(I, (SBC)) = d(, (SBC)) = .

d. J, O lần lượt là trung điểm của SD, DB nên JO là đường trung bình của tam giác SDB. Suy ra JO // SB;

Do đó .

e. là trọng tâm ∆SDC nên

khi đó

vậy .

Vẫn là hệ thống các câu hỏi nhỏ vừa thu hút, lôi cuốn sự tập trung hoạt động của học sinh, vừa từng bước giải quyết bài toán khá phức tạp. Cũng ví dụ này nếu ta sửa lại yêu cầu bài toán:

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).

Hoặc chỉ yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G là trọng tâm ∆SDC) thì làm thế nào? điều này không phải là đơn giản mà đòi hỏi phải có sự hoạt động tối đa của trí óc. Nếu ta đưa ra bài toán dưới dạng này sẽ gây ra khó khăn, vướng mắc đối với việc giải của học sinh làm ảnh hưởng đến tư duy tích cực và dễ chán nản. Vì vậy hệ thống các câu hỏi nhỏ như trên sẽ giúp các em lấy được hứng thú ngay khi bắt tay vào bài, tích cực suy nghĩ và đó là cơ sở để phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh.

Ví dụ 1.4

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD tại O.



  1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BDD’B’).

b. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(BDD’B’) .

c. G là trọng tâm ∆ABA’. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’).

d. I là trung điểm của GB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’).

e. K là trọng tâm ∆BMD. Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’). Suy ra khoảng cách từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J là trung điểm của KO.



Lời giải

a. Ta có AO  BD( giả thiết)

Mặt khác AO  DD’(vì DD’  (ABCD)) suy ra AO  (BDD’B’) ;

Khi đó

Hay .

b. Do AM // (BDD’B’) nên d(M,(BDD’B’))= d(A, (BDD’B’))

vậy d(M, (BDD’B’)) = .

c. Ta có (do G là trọng tâm ∆ABA’)

Khi đó

Hay .

d. (do I là trung điểm của GB) nên

hay .

e. K là trọng tâm ∆BMD nên

Khi đó .

Do J là trung điểm của KO nên

Lúc đó

Vậy .

Hệ thống các ví dụ từ 1.1 đến 1.4 trong đó ví dụ 1.1 là cơ bản, nền tảng để kích thích tính tích cực hoạt động của học sinh, ví dụ 1.2 đến 1.4 tiếp tục phát huy tính tích cực, đẩy cao tư duy độc lập, từ đó khẳng định những kết quả rút ra từ ví dụ 1.1. Điều quan trọng hơn là từ đây học sinh có khả năng đề ra bài toán mới, bằng khái quát hóa, tương tự hoá …hay nói cách khác biết đề ra những câu hỏi, những thắc mắc xung quanh bài toán đó, tự giải quyết và rút ra những kết luận cần thiết.

Chẳng hạn như từ ví dụ 1.2 ta có thể sáng tạo ra bài toán mới:



Ví dụ 1.2.1

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B. AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a.

a. Chứng minh (SAB)  (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).

c. Gọi J là trung điểm của AC, từ J kẻ Jx // SB, trên Jx lấy điểm P.

Tính khoảng cách từ P đến mp(SBC).

d. G là trọng tâm ∆PSB. Tính khoảng cách từ G đến mp(SBC)”.

Từ ví dụ 1.3 ta cũng có thể tạo ra bài toán mới:



Ví dụ 1.3.1

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a, O là tâm hình vuông ABCD.

a. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC);

b. Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC);

c. Qua D kẻ đường thẳng Dy // SC. Lấy Q thuộc SC, tính khoảng cách từ Q đến mp(SBC);

d. G là trọng tâm ∆QAM, tính khoảng cách từ G đến mp(SBC)”.

* Nhìn lại vấn đề qua các ví dụ ta có thể kết luận như sau:

Cho mặt phẳng () và 2 điểm A, E phân biệt nằm cùng phía với nhau so với mp(). Khi đó:

+ Nếu AE //  thì d(E, ()) = d(A, ()).

+ Nếu AE cắt mp() tại điểm M sao cho thì d(E, ()) = d(A, ()).



Bây giờ ta xét tiếp vấn đề 2 là hai điểm A và E khác phía nhau so với mp() thì các kết quả trên còn đúng hay không?



VẤN ĐỀ 2: Hai điểm E và A nằm khác phía nhau so với mp().

Ví dụ 2.1

Cho mặt phẳng () và một điểm A không thuộc mp(). M là một điểm nằm trên mp(), trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho , H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(), AH = h.

a. Tính khoảng cách từ điểm E đến mp();

b. N là điểm đối xứng với A qua M. Tính khoảng cách từ điểm N đến mp();

c. Trên đường thẳng d qua E và d // lấy điểm Q bất kì. Tính khoảng cách từ điểm Q đến mp();

d. I là trung điểm của MQ, tính khoảng cách từ điểm I đến mp().



Nhận xét

Với câu a cần xác định hình chiếu vuông góc của điểm E lên mp(), sử dụng vốn kiến thức cũ: quan hệ song song vuông góc, định lí Tallet…(tương tự như ví dụ 1.1) để xác định và tính khoảng cách từ điểm E đến mp(). Câu b là trường hợp đặc biệt của câu a với k = 1. Câu c, d sử dụng kết quả ở ví dụ 1.1 (vấn đề 1) và kết quả tính ra câu a, b để tìm khoảng cách.



Lời giải.

a.Gọi P là hình chiếu vuông góc của E lên mặt phẳng ().



 AH // EP

Lại có P, M, H thẳng hàng. Theo định lí Tallet ta có:



 EP = k. AH = k.h .

b. N là điểm đối xứng với A qua M nên MN = MA hay

Áp dụng câu a với k =1 ta có d(N, ()) = h

c. Vì EQ // () nên theo kết quả rút ra từ vấn đề 1 ta có:

d(Q, ()) = d(E, (k.h.

d. I là trung điểm của MQ nên :

d(I,()) = d(Q,() hay d(I, ()) = k.h.

Ở ví dụ này ta đã giải quyết được vấn đề đặt ra ban đầu bằng tương tự hoá và sự tích cực trong suy nghĩ. Đến đây ta có thể khẳng định rằng đối với các bài toán : cho mặt phẳng () và một điểm A không nằm trong mp(), biết d(A, ()) = h, yêu cầu tính khoảng cách của một số điểm M, N, P, Q …khác phía A so với mp() thì tính khoảng cách từ một điểm trong số các điểm đó đến mp() sao cho khoảng cách này là dễ tính nhất, sau đó chuyển về bài toán ở dạng quen thuộc như vấn đề 1 đã nêu. Bây giờ ta xét 1 ví dụ cụ thể:



Ví dụ 2.2

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABC), lấy điểm S sao cho , K là trung điểm của BC.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b. Gọi M là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC);

c. Gọi G là trọng tâm ∆SCM. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC);

d. I là trung điểm của GK. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).



Lời giải.

a..Xét 2 ∆ vuông SAB và SAC :



suy ra SB = SC hay ∆SBC cân tại S.

Trong ∆SBC có SK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao khi đó

BC  SK mà BC  SA( do SA  (ABC)) nên BC (SAK),

suy ra SAK)  (SBC).

Ta có (SAK)  (SBC) ≡ SK. Từ A kẻ AH  SK tại H. Khi đó

d(A,(SBC)) = AH.

Xét ∆SAK vuông taị A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:



(*)

Trong đó (đường cao của tam giác đều cạnh a),

SA = (giả thiết) (1)

Thay (1) vào (*) ta có .

b. M là điểm đối xứng với A qua C nên

vậy

c. G là trọng tâm SCM nên ta có:

hay ;

d. I là trung điểm của KG, khi đó



suy ra .

Ví dụ 2.2 là sự cụ thể hóa khẳng định ta đã nêu ngay trước đó, quan trọng là khả năng biết vận dụng linh hoạt các kết quả từ các ví dụ và khẳng định đã có trước đó để áp dụng giải từng bài toán cụ thể, từng trường hợp nhất định. Sau đây ta sẽ xét tiếp 1 ví dụ như thế nữa.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©tieuluan.info 2019
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương