Chiªu sè 16 ®èi xøng vµ VI phn



tải về 1.41 Mb.
Chuyển đổi dữ liệu08.12.2017
Kích1.41 Mb.
#4242

powerpluswatermarkobject8337590 thư viện tiểu luận http://hoatuphysics.com


Chiªu sè 16

®èi xøng vµ vi ph©n

(ph©n tÝch tÝnh ®èi xøng h×nh häc ®¬n gi¶n ho¸ phÐp tÝnh tÝch ph©n trong viÖc x©y dùng vµ ph¸t 1 sè triÓn vÊn ®Ò)

Trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái vËt lý phæ th«ng, c¸c bµi to¸n vËt lý cã sö dông tÝch ph©n 3 líp lu«n lµ nçi ¸m ¶nh cña häc sinh vµ còng lµ nh÷ng tr¨n trë cña kh«ng Ýt gi¸o viªn, bëi v× c¸c em ch­a ®­îc trang bÞ ®Çy ®ñ c«ng cô to¸n häc cÇn thiÕt, trong khi c¸c gi¸o viªn lý kh«ng dÔ g× bæ tóc to¸n häc kÞp thêi cho häc sinh ®­îc. Ng­îc l¹i nhu cÇu ®µo s©u kiÕn thøc vËt lý l¹i v« cïng, c¸c em cã thÓ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thøc v­ît ch­¬ng tr×nh trµn sang c¶ vËt lý ®¹i c­¬ng, do ®ã c¸c bµi tËp cÇn ph¶i sö dông c«ng cô to¸n häc nhiÒu h¬n. §Ó gi¶i quyÕt m©u thuÉn nµy chóng ta cÇn ®¬n gi¶n ho¸ c«ng cô to¸n häc. Mét trong nh÷ng gi¶i ph¸p ®ã lµ khai th¸c triÖt ®Ó nh÷ng ph©n tÝch vËt lý vµ tinh tÕ trong viÖc vËn dông to¸n häc.

Tr­íc khi ®äc bµi viÕt quý vÞ nªn ®äc 3 c©u thÇn chó



Khai th¸c triÖt ®Ó b¶n chÊt vËt lý, ®¬n gi¶n ho¸ tèi ®a c«ng cô to¸n häc

Rêi r¹c xÝch ma, liªn tôc tÝch ph©n

Ng­îc th¸c lªn ®Ønh, xu«i dßng ra biÓn lín

T¸c dông cña thÇn chó tuú mäi ng­êi thÈm ngé do ®ã t«i kh«ng ®­a lêi b×nh gi¶i!




  1. KiÕn thøc chung

  1. C¬ së lý thuyÕt

C¸c ®¹i l­îng vËt lý  lµ mét vÐc t¬ vµ B lµ mét v« h­íng. A vµ B lµ mét hµm mµ c¸c gi¸ trÞ vi ph©n cña chóng lµ mét phæ liªn tôc. Ta cã thÓ ph©n tÝch A, B thµnh chuçi d­íi d¹ng

 =  (16.I)

Vµ B =  (16.II)



  1. Sö dông tÝch m« t¶ 1 sè ph­¬ng tr×nh vËt lý

  • C¸c ®¹i l­îng ®éng häc

v2 – v =  (16.1) x2 – x =  (16.2)

2 1 =  (16.3) 2 1­ =  (16.4)



 = ). (16.5)

  • NÕu khèi l­îng kh«ng ®æi th×: v2 – v1 =  (16.6)

C¸c ph­¬ng tr×nh: (16.1;2;5;6) viÕt cho chuyÓn ®éng th¼ng, c¸c ph­¬ng tr×nh (16.3;4) viÕt cho chuyÓn ®éng trßn

  • C«ng c¬ häc

A =  (16.7)Tõ ®ã

  • C«ng suÊt trung b×nh: Ptb =  (16.8)

  • ThÕ n¨ng: Wt2 - Wt1 = -  (16.9)

  • Ph­¬ng tr×nh khèi t©m

  • Tæng qu¸t: =  (16.11)

  • C¸c to¹ ®é :

 (16.12)



  • M« men qu¸n tÝnh

  • Tæng qu¸t: : I =  (16.13)

  • Theo c¸c thµnh phÇn: I = Ix + Iy + Iz (16.14)

  • §Þnh lý stenn¬ - Huyghen: Id = IC + md2 (16.15)

  • C¸c ®¹i l­îng kh«ng thuéc c¬ häc còng cã thÓ dïng tÝch ph©n nh­

q(i); i(j); E(dE); U(E); U(i); R(l); N(E); B(dB); (B) ()…….


  1. X¸c ®Þnh to¹ ®é khèi t©m vËt r¾n

  1. Ph­¬ng ph¸p

B1. Chän c¸ch chia vËt r¾n thµnh c¸c vi ph©n phÇn nhá)

  • §©y lµ b­íc cùc kú quan träng gÇn nh­ quyÕt ®Þnh sù th¾ng b¹i cña bµi to¸n

  • Dùa vµo tÝnh ®èi xøng, biÖn luËn ®Ó lo¹i bít 1 hoÆc 2 to¹ ®é

B2. LËp biÓu thøc tÝnh vi ph©n kÝch th­íc tõ ®ã suy ra vi ph©n khèi l­îng

B3. ¸p dông ph­¬ng tr×nh khèi t©m (c«ng thøc 16.11; 16.12)

B4. ChuyÓn c¸c ®¹i l­îng vÒ chung Èn vµ tÝnh tÝch ph©n võa lËp


  1. X¸c ®Þnh träng t©m cña vËt r¾n thuéc 1 sè d¹ng h×nh häc

Bµi 1. Mét thanh thÐp (h×nh 16.10 m¶nh ®ång chÊt thiÕt diÖn ®Òu ®­îc uèn thµnh nöa vßng trßn b¸n kÝnh R. X¸c ®Þnh träng t©m cña thanh

G

i¶i mÉu


Tr­íc khi chia thanh thÐp thµnh c¸c vi ph©n ta thÊy r»ng. Thanh thÐp cã tÝnh ®èi xøng theo OY do ®ã träng t©m ch¾c ch¾n n»m trªn OY nªn hoµnh ®é träng t©m b»ng kh«ng, ta chØ ph¶i tÝnh tung ®é

B1. Chia cung trßn thµnh c¸c vi ph©n chiÒu dµi, mçi vi ph©n cã chiÒu dµi dl.Mçi vi ph©n nµy ®­îc ch¾n bëi mét gãc ch¾n d.

B2. ChiÒu dµi mçi vi ph©n lµ dl  khèi l­îng mçi vi ph©n lµ

dm = dl (1)

Víi  lµ mËt ®é khèi l­îng (chó ý: mËt ®é khèi l­îng kh¸c khèi l­îng riªng)

Trong ®ã  =  (2)

Thay (2) vµo (1) ta cã: dm =  (3)

B3. Tung ®é khèi t©m:  (4)

®­a (3) vµo (4) ta cã yG =  (5)

Trong ph­¬ng tr×nh (5) cã 2 biÕn: y vµ l. Trong khi tÝch ph©n chØ cã 1 líp. Do ®ã ph¶i chuyÓn vÒ cïng mét biÕn

B4. (quy l vµ y vÒ  )

Ta cã: y = R. sin  vµ dl = Rd . §­a 2 biÕn nµy vµo ph­¬ng tr×nh (5) ta cã:

yG = 

=  (6)

§Õn ®©y c«ng viÖc cña vËt lý ®· hÕt, quý vÞ tÝnh TÝch ph©n (6) theo c¸ch cña m×nh vµ cho kÕt qu¶ yG = 

VËy träng t©m cña thanh n»m trªn b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a thanh c¸ch t©m mét kho¶ng R/


  • Tõ ®©y ta cã thÓ ph¸t triÓn thµnh nhiÒu bµi øng dông bµi to¸n nµy

Ph¸t triÓn 1: TÝnh lùc hÊp dÉn. Cho mét thanh m¶nh ®ång chÊt thiÕt diÖn ®Òu cã d¹ng nöa ®­êng trßn b¸n kÝnh R, khèi l­îng M. Ng­êi ta ®Æt ë t©m thanh mét chÊt ®iÓm cã khèi l­îng m. TÝnh lùc hÊp dÉn gi÷a 2 vËt

Ph¸t triÓn 2: dao ®éng cña con l¾c vËt lý:. Thanh thÐp trªn ®­îc uèn nhê mét sîi d©y c­íc m¶nh b»ng c¸ch buéc thËt c¨ng 2 ®Çu. , ë chÝnh gi÷a d©y c­íc cã mét c¸i khuyªn. Ng­êi ta cho thanh dao ®éng trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng, trôc quay n»m ngang, mÆt thanh lµ mÆt ph¼ng th¼ng ®øng. TÝnh tÇn sè gãc cña thanh khi ®­îc kÝch thÝch dao ®éng nhá (Muèn lµm bµi nµy ta xem môc 3 ®Ó tÝnh m« men qu¸n tÝnh)

  • TiÕp theo ta n©ng cÊp bµi trªn

Bµi 2. Thanh thÐp trªn ®­îc uèn thµnh mét cung trßn cã b¸n kÝnh R gãc ch¾n cung lµ 20 (tÊt nhiªn nÕu ch­a cho gãc ch¾n 20 ta cã thÓ dùa vµo chiÒu dµi cung vµ b¸n kÝnh ®Ó tÝnh : 2 0 = l/R). X¸c ®Þnh träng t©m cña thanh

Bµi nµy hoµn toµn t­¬ng tù bµi trªn. Ta còng dùa vµo tÝnh ®èi xøng cña thanh

®

Ó x¸c ®Þnh hoµnh ®é träng t©m b»ng kh«ng

vµ c«ng thøc (6) b©y giê lµ

yG =  (6)

VÒ mÆt to¸n häc chóng ta còng cã thÓ lÊy  lµ gãc hîp bëi trôc tung víi b¸n kÝnh kh¶o s¸t. Khi ®ã c«ng thøc 6 cã thÓ vÒ c«ng thøc “h¬i” gän h¬n.

yG = 

ViÖc sö dông to¸n häc lµ tuú thãi quen mçi ng­êi.


  • Ta tiÕp tôc n©ng cÊp bµi to¸n 1

Bµi 3. B©y giê ta thay nöa vµnh trßn b»ng b¸n nguyÖt

G

i¶i

T­¬ng tù c¸c bµi trªn. träng t©m n»m trªn OY nh­ h×nh vÏ



Ta chia b¸n nguyÖt thµnh c¸c vi ph©n theo c¸c l¸t c¾t song song víi ®¸y, mçi vi ph©n cã chiÒu cao dy. Víi c¸ch chia nµy mçi vi ph©n cã khèi l­îng dm vµ träng t©m n»m ngay trªn OY

Ta cã chiÒu dµi mçi vi ph©n b»ng 2x. Víi x lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña vi ph©n víi ®­êng trßn giíi h¹n b¸n nguyÖt

§Ó thay ®æi kh«ng khÝ b©y giê ta lÊy  lµ gãc nh­ h×nh vÏ

 chiÒu diÖn tÝch vi ph©n lµ dS = 2x.dy = 2. R.sin .dy

MÆt kh¸c: y = Rcos. dy = - R.sin d

Thay lªn trªn ta ®­îc dS = -2. R2.sin2.d

 khèi l­îng vi ph©n: dm = sin2 .d

Ta cã: tung ®é träng t©m lµ: yG = 

Thay y = R cos ta cã: yG =  = 


  • Bµi 3 ®­îc ph¸t triÓn t­¬ng tù bµi 1 ( thanh nöa ®­êng trßn). Ta cho gãc ch¾n lµ 2 sÏ ®­îc bµi míi

  • N©ng cÊp bµi 3 thµnh b¸n cÇu.

Lµm t­¬ng tù b¸n nguyÖt ta cã ®é cao cña träng t©m so víi ®¸y lµ: 3R/8

Bµi to¸n x¸c ®Þnh to¹ ®ä khèi t©m b»ng ph­¬ng ph¸p ®èi xøng vµ vi ph©n cßn

RÊt nhiÒu vÊn ®Ò cÇn kh¸i th¸c. quý vÞ tù ph¸t triÓn theo së tr­êng cña m×nh.

Ta t¹m kÕt thóc phÇn nµy ë ®©y. B©y giê ta chuyÓn sang mét vÊn ®Ò hÊp dÉn h¬n



Trong vÊn ®Ò nµy chóng ta sÏ thÊy râ ®­îc vai trß cña viÖc hiÓu kü b¶n chÊt vËt lý lín lao ®Õn cì nµo

  1. tÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n

Bµi to¸n d¹ng nµy vÒ c¬ b¶n còng dïng 4 b­íc gÇn nh­ gièng hÖt bµi to¸n khèi t©m, chØ cã ®iÒu trong b­íc 3 chóng ta dïng c«ng thøc 16.13 vµ cã thÓ dïng ®Õn (16.14)

B©y giê ta b¾t ®Çu tõ nh÷ng bµi dÔ tr­íc

    1. XuÊt ph¸t tõ vµnh trßn ®¬n gi¶n

Bµi 4. Chøng minh r»ng m« men qu¸n tÝnh cña vµnh trßn cã khèi l­îng M, b¸n kÝnh R ®èi víi trôc quay trïng víi trôc cña vµnh (trôc vËt lý trïng víi trôc h×nh häc) lµ I = MR2

Gi¶i

T­¬ng tù bµi 1

B


H×nh 16.4
1. ta chia ®­êng trßn thµnh c¸c vi ph©n chiÒu dµi dl

B2. Khèi l­îng mçi vi ph©n lµ dm = .dl = .

B3. ¸p dông c«ng thøc: I = 

Trong c«ng thøc nµy r ®óng b»ng b¸n kÝnh vµnh trßn R nªn ta cã: I = R2. = MR2

Nh­ vËy bµi to¸n nµy thËm chÝ kh«ng cÇn thiÕt ph¶i tÝnh dm nh­ b­íc (2). Khi lµm bµi c¸c em Hs kh«ng cÇn lµm b­íc nµy. Tuy nhiªn chóng ta ®ang nghiªn cøu bµi to¸n ë gãc ®é kh¸c, b­íc nµy cã vai trß nh­ mét nÊc thanh trong m¹ch t­ duy mµ chóng ta sÏ ph¸t triÓn phÝa sau


  • n©ng cÊp 1

Bµi 5. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña trô rçng ®èi víi trôc h×nh häc

Gi¶i

Khoan h·y chia h×nh trô. Ta h·y b×nh tÜnh ph©n tÝch ®·

Cã mét tån t¹i kh¸ phæ biÕn. Khi ta chia vËt thµnh c¸c vi ph©n th«ng th­êng ta cø nghÜ vi ph©n lµ nh÷ng phÇn vËt rÊt nhá (kiÓu nh­ c¸i b¸nh m× cã thÓ chia thµnh vi ph©n lµ c¸c h¹t bét hay nhá h¬n n÷a). §iÒu nµy thËt m¸y mãc, vµ nÕu ta kh«ng tinh tÕ trong vËt lý sÏ khiÕn chóng ta ph¶i gÆp phiÒn hµ víi to¸n häc

Quay l¹i víi c¸i b¸nh m×nh. Ta cã thÓ chia b¸nh m×nh thµnh c¸c vi ph©n d¹ng l¸t c¾t, mµ l¸t c¾t th× cã mu«n h×nh v¹n tr¹ng nh÷ng c¸ch thøc c¾t chia.

VËy bµi to¸n trô rçng ta sÏ chia thÕ nµo? §Ó tr¶ lêi ®­îc c©u nµy ta h·y ®Ó ý r»ng. nÕu c¾t h×nh trô b»ng nh÷ng l¸t c¾t vu«ng gãc víi trôc th× 2 l¸t c¾t r©t gÇn nhau cho ta mét vµnh trßn. VËy ta ph¶i nghÜ ®Õn viÖc kÕ thõa kÕt qu¶ tõ bµi tr­íc

B1. Chia h×nh thµnh c¸c vi ph©n cã d¹ng vµnh trßn, mçi vµnh cã chiÒu cao dh

B2. Chó ý r»ng mçi vi ph©n nµy chÝnh lµ mét vµnh trßn cã khèi l­îng



dm = . dh = 

vµ m« men qu¸n tÝnh lµ I = R2.dm

B3. §èi víi d¹ng bµi cã tÝnh kÕ th­êng h×nh häc tõ c¸c bµi kh¸c b­íc nµy quan träng nhÊt

¸p dông c«ng thøc: I = 

Nh­ vËy bµi nµy ta dïng ngay c«ng thøc cao nhÊt cña tÝch ph©n trong phÇn cã së lý thuyÕt

VËy dI lµ g×. ChÝnh lµ m«men qu¸n tÝnh cña c¸c vi ph©n ®· chia ë trªn. do ®ã dI = R2dm

Nh­ vËy: I =  = M.R2

Tõ ®©y ta hoµn toµn cã thÓ kÕt luËn ®­îc:

HÖ qu¶ 1

Mét vËt r¾n ®ång chÊt thiÕt diÖn ®Òu, trôc quay vu«ng gãc víi thiÕt diÖn nµy th× m« men qu¸n tÝnh kh«ng ®æi nÕu bÒ dµy cña vËt thay ®æi


  • n©ng cÊp 2.

Bµi 6. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña trô rçng ®èi víi trôc h×nh häc biÕt khèi l­îng trô lµ M, b¸n kÝnh R

H


H×nh 16.4
­íng dÉn

Chia cÇu thµnh c¸c vµnh trßn, mçi vµnh cã b¸n kÝnh r, chiÒu cao dh



  • N©ng cÊp 3

Bµi 7. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña ®Üa trßn ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R, khèi l­îng M

H­íng dÉn

T­¬ng tù bµi 6 ta chia ®Üa thµnh c¸c vµnh trßn, mçi vµnh cã b¸n kÝnh r, bÒ réng dr

LÆp l¹i 4 b­íc c¬ b¶n ta tÝnh ®­îc I = 0,5M.R2


  • N©ng cÊp 3.1 (n©ng cÊp tõ bµi 7 - ®Üa trßn)

Bµi 8. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña trô ®Æc ®ång chÊt cã khèi l­îng M, b¸n kÝnh r

H­íng dÉn

Sö dông hÖ qu¶ 1 ta còng chøng minh ®­îc m« men qu¸n tÝnh cña trô ®Æc b»ng m« men qu¸n tÝnh cña ®Üa trßn



B


Hinh 16.5
©y giê ta chuyÓn sang nhãm h×nh häc kh¸c


  • N©ng cÊp 3.2 (n©ng cÊp tõ bµi 7- ®Üa trßn)

Bµi 9. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña cÇu ®Æc ®ång chÊt cã b¸n kÝnh R, khèi l­îng M ®èi víi trôc cè ®Þnh ®i qua t©m

H­íng dÉn: chia qu¶ cÇu thµnh c¸c ®Üa trßn cã b¸n kÝnh r, bÒ dµy ­dh

  1. §Õn c¸c h×nh d¹ng phøc t¹p

Bµi 10. Viªn ph©n

T




H×nh 16.6
Ýnh m« men qu¸n tÝnh cña h×nh viªn ph©n. BiÕt khèi l­îng cña vËt lµ M, b¸n kÝnh trong lµ R1; b¸n kÝnh ngoµi lµ R2. Trôc quay cè ®Þnh lµ trôc h×nh häc

Bµi 11. C¾t gät qu¶ cÇu

TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña mét qu¶ cÇu ®Æc, rçng (hai bµi) cã b¸n kÝnh R, khèi l­îng M khi bÞ c¾t b»ng 2 mÆt ph¼ng song song nhau vµ song song víi mét mÆt ph¼ng xÝch ®¹o, c¸c mÆt ph¼ng c¸ch xÝch ®¹o lÇn l­ît nh÷ng kho¶ng h1; h2



Bµi 12. Lµm rçng qu¶ cÇu

TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña mét qu¶ cÇu cã khèi l­îng M, biÕt qu¶ cÇu ®­îc giíi h¹n bëi 2 mÆt cÇu, mÆt ngoµi cã b¸n kÝnh R2; mÆt trong cã b¸n kÝnh R1. 2 mÆt cÇu nµy ®ång t©m. Trôc quay cè ®Þnh lµ trôc h×nh häc



……………………….

Kh¶ n¨ng khai th¸c cña chuyªn ®Ò cßn rÊt nhiÒu, quý vÞ tù ph¸t triÓn theo së tr­êng cña m×nh. B©y giê ta chuyÓn sang nhãm h×nh häc kh¸c

  1. §Ò xuÊt: Khai th¸c bµi to¸n thanh m¶nh

Bµi 13. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña thanh m¶nh, ®ång chÊt thiÕt diÖn (nhá)®Òu ®èi víi trôc ®i qua trung ®iÓm thanh vµ vu«ng gãc víi thanh.

- Bµi nµy kh«ng cã g× khã (quý vÞ tù gi¶i)

- Dïng hÖ qu¶ 1 ®Ó n©ng cÊp

B


H×nh 16.7

µi 14. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña c¸c h×nh sau, cho trôc quay vu«ng gãc víi vËt vµ ®i qua träng t©m


˜..V.P..™.

T¸c gi¶

Vò Duy Ph­¬ng

G§ C«ng ty TNHH Trung T©m Hoa Tö - §T: 0984 666 104

§/C: 08 ngâ 286 §éi Cung – P. Tr­êng Thi – TP Thanh Ho¸

Web: http://hoatuphysics.com

Email: hoatutiensinh@gmail.com

Facebook: facebook.com/trungtamhoatu ; facebook.com/hoatutiensinh





tải về 1.41 Mb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn:




Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©tieuluan.info 2022
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương